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Klassische Systeme
 
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2.11 - Allgemeiner Ansatz

Mit der Konstruktion des räumlichen Schwingungsgefüges steht ein mathematisch/physikalisches Modell zur Verfügung, dass es ermöglicht Strukturen der Erde auf einer Schwingungsbasis zu erklären.

Die Frage ist:

Wie lautet ein allgemein möglicher Ansatz für ein Schwingungsgefüge?
Die Antwort liefert die Laplace-Gleichung.

Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (28.03.1749 bis 05.03.1827) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er arbeitete unter anderem auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Differentialgleichungen.
Laplace war immer mehr Physiker als Mathematiker. Die Mathematik diente ihm nur als Werkzeug. Heute sind aber die mathematischen Verfahren, die Laplace entwickelte und anwandte, wichtiger geworden als sein eigentliches astronomisches Werk.
Die wichtigsten mathematischen Werkzeuge sind der Laplace-Operator, die Laplace-Gleichung der Laplacesche Entwicklungssatz, sowie die Laplace-Transformation.

Der Laplace-Operator Nabla ist ein mathematischer Operator d.h. es handelt sich hier um eine allgemeine mathematische Vorschrift (Rechenweg). Der Laplace-Operator ist ein vektorieller Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis.

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der Laplace-Gleichung auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen.

 
Laplace-Gleichung:
 
Gleichung 2.11.01 Laplace-Gleichung
   
  gelesen: Nabla f gleich null

 

In kartesischen Koordinaten (x, y, z) ausgedrückt:

 

Gleichung 2.11.02 Laplace-Gleichung kartesich

In nur einer Dimension gilt dann:

 

Gleichung 2.11.03 Laplace-Gleichung eindimensional

 

Das ist u.a. die Gleichung für einen harmonischen Oszillator, also z.B. ein Pendel oder eine Feder ohne Reibung.

Die Laplace-Gleichung stellt somit eine mathematische Formel zur Beschreibung von Schwingungsphänomenen im Raum dar.

Der allgemein übliche Ansatz für eine Lösung mit einer zentralen Konfiguration besteht darin die kartesischen Koordinaten (x, y, z) in Kugelkoordinaten (λ, φ, r) zu transformieren.

Dann wird die gesamte Funktion in zwei Teilfunktionen zerlegt. Wobei eine Funktion den Winkelanteil und die andere Funktion den Radialanteil enthält.

Der allgemeine Ansatz für eine Lösungsfunktion der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten sieht dann so aus

 

Gleichung 2.11.04 Lösungsfunktion der Laplace-Gleichung

Die beiden Teilfunktionen R und Y lassen sich jeweils einzeln lösen.


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