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3.6 - Geologische Schalen und Laplace

Allgemein lassen sich 16 relevante geologische Schalen aus der gängigen Literatur zusammen tragen. Hierbei werden die einzelnen Schichten nach Tiefe geordnet und durchnummeriert.

Tabelle Geologische Schalen

Rechts in der Tabelle befindet sich der logarithmus naturalis (Logarithmus zur Basis e) für die jeweiligen Tiefen.
Die Logarithmusbildung geschieht, weil sich eine Analyse in diesem Fall einfacher gestalten lässt, da Funktionsverläufe besser erkennbar werden.

Der Logarithmus der Tiefe wird als Funktion der Nummerierung dargestellt:

Logarithmus der Tiefe

Abbildung 3.6.1 – Logarithmus der Tiefe

 

Die Funktion in Abbildung 3.6.1 sieht, bis auf Teilstücke, zuerst mal nur annähernd linear aus. Schaut man sich den Verlauf aber näher an so erkennt man:

a) Zwischen Punkt 8 und 13 ist die Steigung anähernd konstant

b) Zwischen Punkt 1 und 2 sowie zwischen Punkt 2 und 3 und zwischen den Punkten 13 und 14 ist die Steigung so groß, dass dort noch ein Punkt eingeschoben werden kann um die Steigung abzuflachen.

c) Zwischen Punkt 5 und 6 sowie zwischen 7 und 8 ist die Steigung so klein, dass dort die Nummerierung auf ein halb gesetzt werden kann, um so die Steigung zu erhöhen.


Aus Gründen der praktisch mathematischen Handhabung bezüglich der zu bestimmenden Funktion ist es besser die Nummerierung mit Null beginnen zu lassen. Die in der Nummerierung korrigierten Schichten nach Tiefe geordnet, ergeben dann die folgenden Tabelle:

Tabelle Geologische Schalen

Deutlich sind in der Tabelle die neu hinzugekommenen Schichten bei den Nummerierungen 1, 3 und 13 zu erkennen. Die korrigierte Funktion sieht dann so aus:

Linearisierung

Abbildung 3.6.2 – Linearisierung

 

Die rote Linie in Abbildung 3.6.2 stellt eine Gerade dar, die durch lineare Regression aus der korrigierten Tabelle ermittelt wurde. Wie zu sehen ist, stimmen die Schalenwerte jetzt gut mit der Näherungsgeraden überein.

Es gilt für die additative Konstante:

b = ln wMax = ln Tn = ln 5100 = 8,536995

Es gilt für die Steigung der Geraden:

Delta y = ln wMax – ln wMin = ln 5100 – ln 60 = 4,442651

Delta x = n = 16

a = Delta y/Delta x = 4,442651/16 = 0,277665

Es kann hier also eine lineare Funktion für die geologischen Schichten, als Lösungsansatz, benutzt werden. Allgemein gilt für die Gerade aus Abbildung 3.6.2:
:
y = ln(Tiefe) = –ax + b

Die gefundenen Werte werden in die Geradengleichung eingesetzt :

Es ergibt sich: ln(Tiefe) = 0,2777 x + 8,537

Durch Umstellen erhält man:

 

3.6.1 - Gleichung: Tiefe = 5100 e - 0,2777x [Km]

 

Setzt man x = n so ergibt sich für Gleichung 3.6.1 folgender Funktionsverlauf:

geologische Schalen als e-Funktion

Abbildung 3.6.3 – geologische Schalen als e-Funktion

 

Gleichung 3.6.1 besitzt alle Eigenschaften die nach 2.11.3 notwendig sind um als Lösungsfunktion der Laplace-Gleichung in Betracht zu kommen. Damit stellen die geologischen Schalen eine Lösung der Laplace-Gleichung, speziell des Radialanteils, dar.

In der Konsequenz lässt sich folgender Satz aufstellen:

 

3.6.2 - Satz: Die geologischen Schalen sind Ausdruck eines Schwingungsphänomens.

 

Es lassen sich an der Gleichung 3.6.1 noch Vereinfachungen vornehmen.

Es gilt: 0,2777 = 3,6-1 = 5/18


Sämtliche Werte eingesetzt ergeben die Gleichung für die Tiefe der geologischen Schalen:

 

3.6.3 - Gleichung: geologischen Schalen [Km]

 

Es kann folgende Beziehung aufgestellt werden:

rik=RE/5 rik = innerer Kern und RE= 6371 Km

und es gilt weiterhin:

5100 = RE– rik = 4/5 RE= 4rik


Dann lässt sich für die geologischen Schalen schreiben:

 

3.6.4 - Gleichung: geologischen Schalen [Km]

 

Dann lässt sich weiterhin für die geologischen Schalen schreiben:

 

3.6.5 - Gleichung: geologischen Schalen [Km]

 

Die Schichten nach Tiefe geordnet und die errechneten Werte ergeben die folgende Tabelle:

Tabelle Geologische Schalen

Der mittlere Fehler der errechneten Werte für die geologischen Schalen liegt unter 1 Prozent.

Zusätzlich entstehen noch einmal drei Schalen.



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Herstellung und Verlag:
Books on Demand GmbH, Norderstedt

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