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Klassische Systeme
 
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2.2 - Multiplikation zweier Schwingungen

Kugelflächenfunktionen lassen sich als zwei Sinus - bzw. Cosinuswellen darstellen, die senkrecht aufeinander stehen und sich multiplikativ überlagern. Zwei solcher Wellen lassen sich nach folgenden qualitativen Regeln addieren:
   
2.2.1 - Null-Gitter    
     
Grundschwingungen Nullgitter
  Abbildung 2.2.1 – Nullgitter
   
Die Nullpunkte der beiden Wellen werden auf die Betrachtungsebene übertragen, wie in Bild 2.2.1 rechts dargestellt. Dies entspricht einer tesseralen Kugelflächenfunktion mit: G0 = sin alpha × sin beta

 

Zwei senkrechte Wellen lassen sich dann nach folgenden qualitativen Regeln addieren:
 
Polbildung 2.2.2 - Polbildung:

1) + und + ergibt +
2) – und – ergibt –
3) + und – ergibt 0
Abbildung 2.2.2 – Multiplikation  

 

Wie zu sehen ist, ergeben sich Felder mit verschiedenen Vorzeichen bzw. verschiedenen Zuständen. Es existieren insgesamt drei Schwingungszustände: positiv(+), negativ(-), neutral(0)

 

Gitterbildung 2.2.3 - Gitterbildung:

Auffallend ist, dass alle Nullfelder diagonal zueinander liegen.
Verbindet man nun die Nullfelder miteinander so ergibt sich das nebenstehende Bild.
Abbildung 2.2.3 – erzeugtes Gitter  

 

2.2.4 - Definition: Das (rote) gitterartige Gefüge heißt Grundfeld bzw. Gitter bzw. erzeugtes Feld.
Die (blauen) erzeugenden Wellen heißen
Grundschwingungen.

Für das Grundfeld gilt:
G = sin α + sin β

 

Während der mathematische Begriff der Kugelflächenfunktion nicht nach der Ursache des Schwingungsfeldes fragt, so müssen bei der physikalischen Betrachtung die zugrunde liegenden Wellen mit einbezogen werden.

Dies leistet der Begriff des Grundfeldes. Das Grundfeld ist durch die Grundschwingungen definiert.

Die Bezeichnungen Nullgitter und Grundfeld sind als physikalische Äquivalente zum mathematischen Begriff der tesseralen Kugelflächenfunktion zu sehen.

 

Die Multiplikation der Wellen erfolgte wie gesehen zuerst in einer diskreten Art und Weise.
Bei einer kontinuierlichen also punktweisen Multiplikation zweier senkrecht aufeinander stehender Wellen ergeben sich Gittermuster, mit abwechselnden Polaritäten der Gitterfelder, wie in Abbildung 2.2.4 dargestellt.

Hier zeigt sich, dass die Feldmaxima (Minima) in der Mitte der Quadrate punktförmig auftreten, während die Linien aus Nullwerten bestehen.

Die Feldmaxima sind als Hügel zu erkennen, während die Täler durch die Feldminima gebildet werden.
 
erzeugtes Gitter erzeugtes Gitter
Abbildung 2.2.4 – erzeugtes Gitter

 

Im linken Bild sind unten links und rechts die erzeugenden Schwingungen zu erkennen. Gut zu sehen ist auch, dass jeweils zwei erzeugte Gitterfelder wiederum eine (erzeugte) Schwingung ergeben.

 

2.2.5 - Definition: Gitter
= zweidimensionales Schwingungsgefüge

 

Es ist möglich hier noch ein zweites Gitter einzuzeichnen. Und zwar das Maximalgitter.
Es verbindet die Feldmaxima und Minima, also die Hügelspitzen und die Talsohlen der Abbildung 2.2.4 und stellt den extremalen Verlauf des Feldes dar.

Dies erlaubt zwei Sichtweisen des Gitters:

 

2.2.6 - Definition:

1) das erzeugte Gitter wird in der Ebene der Grundschwingungen beschrieben: G = sin α + sin β

2) Das erzeugte Gitter wird in der Gitterebene selber beschrieben: G = sin φ × sin λ


Beide Koordinatensysteme unterscheiden sich dadurch, dass sie um 45 Grad gegeneinander gedreht sind.


Zur Illustration:

Ein physikalisches Analogon zum Grundfeld bilden die

Chladni-Klang-Figuren
Chladni-Klangfiguren
Abbildung 2.2.5 – Chladni-Klangfiguren

 

Zur Erzeugung der Figuren wird eine Metallplatte mit Sand bestreut und anschließend in Schwingung versetzt.
Bei bestimmten Frequenzen, den Eigenfrequenzen der Platte, tritt Resonanz auf und die gesamte Platte beginnt zu schwingen.
Dabei bleibt der Sand genau an den Stellen liegen, an denen die Amplitude der Schwingung Null ist.



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Books on Demand GmbH, Norderstedt

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