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3.8 - Schichten der Atmosphäre und Laplace

Allgemein lassen sich 11 relevante atmosphärische Schichten zusammen tragen. Hierbei werden die einzelnen Schichten nach Höhe geordnet und durchnummeriert.

Schichten der Atmosphäre

Rechts in der Tabelle befindet sich der Logarithmus naturalis für die jeweiligen Höhen.


Der Logarithmus der Höhe wird als Funktion einer Nummerierung dargestellt:

Logarithmus der Höhe

Abbildung 3.8.1 – Logarithmus der Höhe

 

Die Funktion in Abbildung 3.8.1 sieht, bis auf Teilstücke, zuerst mal nicht sehr linear aus. Schaut man sich den Verlauf aber näher an so erkennt man:

a) Zwischen Punkt 2 bis 7 ist die Steigung anähernd konstant

b) Zwischen Punkt 1 und 2 sowie zwischen Punkt 8 und 9 ist die Steigung so groß, dass dort noch ein Punkt eingeschoben werden kann um die Steigung abzuflachen.

c) Zwischen Punkt 9 und 10 die Steigung so groß, dass dort noch mehrere Punkte eingeschoben werden können. Daher entfällt Punkt 10 erst mal.

d) Zwischen Punkt 7 und Punkt 8 ist die Steigung so klein, dass dort die Nummerierung auf ein halb gesetzt werden kann, um so die Steigung zu erhöhen.

Die in der Nummerierung korrigierten Schichten nach Höhe geordnet, ergeben dann die folgenden Tabelle:

Schichten der Atmosphäre

Deutlich sind in der Tabelle die neu hinzugekommenen Schichten bei den Nummerierungen 2 und 9 zu erkennen. Die korrigierte Funktion sieht dann so aus:

Linearisierung

Abbildung 3.8.2 – Linearisierung

 

Die rote Linie in Abbildung 3.8.2 stellt eine Gerade dar, die durch lineare Regression aus der korrigierten Tabelle ermittelt wurde.
Wie zu sehen ist, stimmen die Schichtenwerte jetzt gut mit der Näherungsgeraden überein.
Für die Näherungsgerade lassen sich die folgenden Werte ermitteln.

Es gilt für die additative Konstante:

b = ln wMin = ln H0 = ln 20 = 2,995732

Es gilt für die Steigung der Geraden:

Delta y = ln wMax – ln wMin = ln 320 – ln 20 = 2,772588
Delta x = n = 10

a = Delta y/Delta x = 2,772588/10 = 0,277258

Es kann hier also eine lineare Funktion für die atmosphärischen Schichten, als Lösungsansatz, benutzt werden. Allgemein gilt für die Gerade aus Abbildung 3.8.2:

y = ln(Höhe) = ax + b

Die gefundenen Werte werden in die Geradengleichung eingesetzt :

 

Es ergibt sich: ln(Höhe) = 0,277 x + 2,9957

 

Durch Umstellen erhält man:

 

3.8.1 - Gleichung: Höhe = 20 e0,277x [Km]

 

Setzt man x = n so ergibt sich für Gleichung 3.8.1 folgender Funktionsverlauf:

Höhe als e-Funktion

Abbildung 3.8.3 – Höhe als e-Funktion

 

Gleichung 3.8.1 besitzt alle Eigenschaften die nach 2.11.3 notwendig sind, um als Lösungsfunktion der Laplace-Gleichung in Betracht zu kommen.
Damit stellen die atmosphärischen Schichten eine Lösung der Laplace-Gleichung, speziell des Radialanteils, dar.
In der Konsequenz lässt sich folgender Satz aufstellen:

 

3.8.2 - Satz: Die atmosphärischen Schichten sind Ausdruck eines Schwingungsphänomens.

 

Es lassen sich an der Gleichung noch Vereinfachungen vornehmen.

Es gilt: 0,277 = 3,6-1 = 5/18


Sämtliche Werte eingesetzt ergibt:

 

3.8.2 - Gleichung: Gleichung Höhe [Km]

 

Es kann folgende Beziehung aufgestellt werden (siehe Satz 5.1.5):

rik= RE/5 rik = innerer Kern und RE = 6371 Km

und es gilt weiterhin:

5100 = RE– rik = 4/5 RE = 4rik

5100 = 255 20 ==> 20 = 4/255r
ik


Dann lässt sich für die atmosphärischen Schichten schreiben:

 

3.8.3 - Gleichung: Gleichung Höhe [Km]

 

Dann lässt sich weiterhin für die atmosphärischen Schichten schreiben:

 

3.8.4 - Gleichung: Gleichung Höhe [Km]

 

Die Schichten nach Höhe geordnet und die errechneten Werte ergeben die folgende Tabelle

Schichten der Atmosphäre

Der mittlere Fehler der errechneten Werte für die Schichten liegt unter 2 Prozent.

Zusätzlich entstehen noch einmal zwei Schichten



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